بخش چهارم
موج هاي مکانيکي
موج ها از اهميت زيادي برخوردار هستند. بيشترين اطلاعاتي که ما از جهان اطرافمان دريافت مي کنيم، از طريق انتشار موج ها صورت مي گيرد. هنگامي که يک سنگ را داخل آب راکد يک استخر مي اندازيد، آشفتگي به صورت دايره هاي متحدالمرکز در آب مشاهده مي کنيد که منتشر مي شوند و به تمام نقاط استخر انتقال پيدا مي کند. در اين حال اگر يک تکه چوب کوچک روي سطح آب شناور باشد با عبور اين آشفتگي بالا و پايين مي رود.


موج
موجها دو دسته هستند، يکي موج هاي مکانيکي که براي انتشار نياز به محيط مادي دارند و ديگري موج هاي الکترومغناطيسي که در خلأ هم مي توانند منتشر شوند. هرچند ماهيت موج هاي مکانيکي و موج هاي الکترومغناطيسي متفاوت است اما از بعضي جهات شبيه هم هستند مثلاً هر دو در حين انتشار مي توانند انرژي را انتقال دهند.
موج هاي مکانيکي در محيط کشسان منتشر ميشوند. به فنر يا هر محيط ديگري که مانند فنر عمل کند محيط کشسان مي گويند. محيط کشسان محيطي است که وقتي در آن تغيير شکلي ايجاد شود، نيروهاي کشسان ايجاد شده بين اجزاء محيط، تمايل دارند محيط را به حالت اول خود برگردانند.
حال طنابي را درنظر بگيريد که انتهاي آن را به يک نقطه محکم بسته ايم و سر آن در دست ماست. با حرکت دادن سرطناب به بالا و پايين، يک آشفتگي به طول طناب ايجاد مي شود که با سرعت V در طناب منتشر مي شود به اين آشفتگي موج مي گوييم.
هرگاه تغيير شکل يا آشفتگي در يک جزء از محيط گشساني که به حالت تعادل است ايجاد کنيم، به علت وجود نيروي کشساني بين اجزاي محيط، آن تغيير شکل جزء به جزء در محيط منتقل مي شود. تغيير شکل ايجاد شده در محيط راتپ و انتقال تپ در محيط را انتشار مي گوييم.
اكثر جامدها، مايع ها و گازهاي محيط هاي کشسان هستند. هنگامي که موج هاي مکانيکي در اين محيط ها منتشر مي شود، ذرات را به ارتعاش درمي آورد.


موج سينوسي
اگر يک جزء از محيط کشساني را که در حالت تعادل است با حرکت هماهنگ ساده به نوسان در آوريم، با نوسان آن جزء تپ هاي متوالي در محيط توليد و به دنبال يکديگر منتشر ميشوند. چنين موجي را «موج سينوسي» مي ناميم.
چشمه ي موج سينوسي، نوسانگري است که مي تواند با بسامد ( يا دوره) و دامنه ي ثابتي، حرکت هماهنگ ساده انجام دهد مثل دياپازون
تصور کنيد که انتهاي يک طناب را به نقطه اي محکم بسته ايم و سر طناب در دست ما است. اگر سر طناب را با دست با حرکات آرام بالا و پايين ببريم، طناب حرکت هماهنگ ساده اي با بسامد v و دامنه A انجام مي دهد يعني موج سينوسي در طناب ايجاد و منتشر مي شود. (شکل زير) در اينجا دست ما مثل يک دياپازون عمل مي کند.

هنگامي که تپ به نقطه ي معيني از محيط مي رسد، آن نقطه انرژي جنبشي و پتانسيل به دست مي آورد و در راستاي قائم حرکت هماهنگ ساده انجام مي دهد.

انتشار موج
موج ايجاد شده در محيط کشسان با سرعت ثابت در محيط منتشر مي شود.
v = x / t
سرعت انتشار موج در يک محيط به ويژگي هاي فيزيکي محيط مانند جنس محيط، دماي محيط و ... بستگي دارد اما به شرايط فيزيکي چشمه ي موج مانند بسامد، دوره و ... بستگي ندارد.

به عنوان مثال سرعت انتشار موج در يک طناب به نيروي کشش طناب و به جرم واحد طول آن بستگي دارد و از رابطه ي زير به دست مي آيد:

m /L جرم واحد طول است که براي سادگي آن را با µ نشان مي دهيم. پس:

طول موج

در طول طناب موج هاي ايجاد شده قله ها و دره هايي را تشکيل مي دهند. فاصله دوقله مجاور يا فاصله دو دره مجاور را طول موج مي گويند و با نشان مي دهند. به عبارت ديگر طول موج مسافتي است که موج در يک دوره مي پيمايد.
نقطه هايي از محيط که فاصله ي آن ها از يک ديگر مضرب صحيحي از طول موج يا مضرب زوجي از نصف طول موج باشد، هم فازند

Δx = nλ = 2n λ / 2

نقطه هايي از محيط که فاصله ي آن ها از يک ديگر مضرب فردي از نصف طول موج باشد، در فاز مخالف اند.

Δx = (2n-1) λ / 2

λ = v.T

موج هاي عرضي ـ موج هاي طولي
اگر راستاي نوسان ذره هاي محيط عمود بر راستاي انتشار موج باشد، موج را عرضي مي نامند.
اگر راستاي نوسان ذره هاي محيط موازي با راستاي انتشار موج باشد، موج را طولي مي نامند.


تابع موج
فرض کنيد چشمه ي موجي با دوره ي T و دامنه ي A حرکت هماهنگ ساده اي انجام مي دهد و نوسان هاي آن با سرعت v در طنابي همگن منتشر مي شود. مبدأ مختصات را منطبق بر چشمه ي موج (ابتداي طناب) و راستاي طناب را محور x انتخاب مي کنيم. اگر جابه جايي هر نقطه ي طناب را از وضع تعادل خود با u نشان دهيم، وضعيت نوساني آن با رابطه ي زير بيان مي شود.
u = A Sin ωt = A Sin (2π / T ) t
موج بعداز زمانΔt = x /v به نقطه اي واقع در مکان x مي رسد. وضعيت اين نقطه مانند وضعيت چشمه ي موج درΔtثانيه قبل است که با جايگزين کردن [ ( t - (x/v)] به جاي t خواهيم داشت:

u = A Sin ω[t-(x/v)] = A Sin [ωt - (ωx / v ) ]
u = A Sin [ ωt - ( 2π / λ)x ]
( 2π / λ) = k
----> u = A Sin ( ωt + kx)

K عدد موج ناميده مي شود و يکاي آن راديان بر متر( Rad / m) است. عدد موج برابر اختلاف فاز دو نقطه ي محيط است که به فاصله ي يک متر از يک ديگر و در يک جهت انتشار موج اند.
تابع u براي ذره اي که به فاصله x=d از چشمه ي موج واقع است. به صورت
(u = A Sin ( ωt - kd
خواهد بود. مقدارkd = θ0 فاز اوليه ي اين نقطه است. شروع اين نمودار به θ0 بستگي دارد. (شكل زير)

براي نشان دادن راستاي نوسان، نام محوري را که نوسان در راستاي آن انجام مي شود زيرنويس u قرار مي دهيم ( uyبراي موج عرضي وuxبراي موج طولي)
به
φ = ωt - kx
و يا
φ = ωt + kx
فاز موج مي گويند. فاز موج با گذشت زمان و انتشار موج ثابت مي ماند چون شکل موج در هنگام انتشار تغيير نمي کند. فاز موج براي موجي که درجهت محور منتشر مي شود به صورت φ = ωt - kxو براي موجي که در جهت خلاف محور منتشر مي شود به صورت φ = ωt + kxخواهد بود.
اختلاف فاز دونقطه ي AوB از محيط که در يک جهت انتشار موج اند به صورت است و يا Δφ = φB - φA
| Δφ = ( 2π / λ) | xB - xA


انتشار موج در دو و سه بعد

اگر يک سنگ را داخل آب راکد بيندازيم، موج هايي ايجاد مي شود که به صورت دايره هاي متحدالمرکز هستند. اين موجها در سطح آب در دوبعد منتشر ميشوند.
به اين دايره هاي درحال انتشار جبهه ي موج مي گويند. جبهه ي موج مکان هندسي نقطه هايي از محيط است که در آن نقطه ها تابع موج داراي فاز يکساني است.
موج هايي نيز هستند که در سه بعد منتشر ميشوند مثل موج هاي صوتي، در اين صورت اين موج ها به صورت کره هاي متحدالمرکز که مرکز آن ها چشمه ي موج است به محيط اطراف منتشر ميشوند. در فاصله هاي دور موج هاي کروي به صورت موج هاي تخت در مي آيند.


انتقال انرژي توسط موج
انرژي که توسط موج حمل مي شود هم با مجذور دامنه و هم با مجذور بسامد موج، نسبت مستقيم دارد.
E = m ω2A2
ω = 2πv
E = 2 π2 mv2A
در لحظه اي که قله ي موج به يک ذره از محيط ميرسد، تمام انرژي ذره به صورت انرژي پتانسيل است و وقتي ذره از وضع تعادل مي گذرد، تمام انرژي آن به صورت جنبشي است.

فيزيک (1) پيش دانشگاهي ( رشته رياضي )

بازتاب
موجي که در يک محيط درحال انتشار است هنگامي که به مرز مشترک دو محيط مي رسد، چه پديده اي رخ مي دهد؟ با فرض اين که اصطکاک ناچيز باشد و انرژي موج تلف نشود مي توان گفت که تمام انرژي موج بازتاب مي شود و به محيط اول برمي گردد.
فرض کنيد که يک تپ روي يک طناب درحال انتشار است. بازتاب آن هنگامي که به انتهاي طناب مي رسد بسته به آن است که انتهاي طناب ثابت يا آزاد باشد.


بازتاب از انتهاي ثابت :
انتهاي ثابت نمي تواند نوسان کند. اين بازتاب مانند يک چشمه ي موج عمل مي کند و يک تپ درخلاف جهت تپ تابشي ايجاد مي کند.

بازتاب از انتهاي آزاد :
انتهاي آزاد مي تواند نوسان کند. اگر انتهاي طناب آزاد باشد، وقتي تپ به آن ميرسد، طناب را در جهت خود به حرکت درمي آورد. اين بازتاب مانند يک چشمه ي موج عمل مي کند و يک تپ درجهت تپ تابشي ايجاد مي کند.

اصل برهم نهي موج ها
هر موج درحال انتشار، بدون آن که براي ساير موج ها مزاحمتي ايجاد کند، از آن ها عبور کرده و به انتشار خود ادامه مي دهد. درست مانند آن که هيچ موج ديگري در محيط منتشر نمي شود. در نقطه اي که دو و يا چند موج با هم تلاقي مي کنند، جابه جايي ذره اي از محيط که در آن نقطه است، برابر برآيند جابه جايي هاي حاصل از هر يک از موج ها است.

u1→ = uT→ + u2→

هنگامي که دو تپ موج هم جهت به هم مي رسند، جابه جايي هاي آن ها با هم جمع مي شود. به شکلهاي زير توجه کنيد:

هنگامي که دو تپ موج که به خلاف جهت هم هستند به هم ميرسند، جابه جايي آن ها از هم کم مي شود. به شکلهاي زير توجه کنيد:

از برهم نهي موج ها در يک بعد، موج ايستاده به وجود مي آيد.
به بعضي از نقطه هاي طناب در هر لحظه دوموج ميرسد که در آن نقطه جابه جايي يکسان اما درخلاف جهت هم ايجاد مي کنند. درنتيجه برهم نهي دوموج در اين نقطه ها ويرانگر است و جابه جايي آن ها از وضع تعادل صفر است به اين نقطه ها که همواره ساکن مي مانند«گره» مي گويند و آن ها را با N نشان مي دهد. جاي گره ها در طول طناب ثابت است. به بعضي نقطه هاي ديگر طناب هم در هر لحظه دوموج مي رسد با اين تفاوت که در اين نقطه ها بر هم نهي به گونه اي است که باعث مي شود موج برآيند با بيشينه ي دامنه نوسان کند. به اين نقطه ها «شکم» يا «پادگره» مي گويند و آن ها را با A نشان ميدهند. جاي شکم ها نيز در طول طناب ثابت است.
ــ محاسبه ي دو گره نشان ميدهد که فاصله ي دو گره متوالي برابر فاصله ي دو شکم متوالي و برابر نصف طول موج است.
ــ فاصله ي يک گره و يک شکم متوالي برابر ربع طول موج است.

براي بررسي موج ايستاده در طول يک طناب دوحالت زير را مورد مطالعه قرار مي دهيم:
الف) دوسر طناب ثابت است
چون انتهاي ثابت طناب نمي تواند نوسان کند در دو
انتهاي طناب همواره گره وجود دارد. پس طول طناب
مضرب صحيحي از نصف طول موج است. اگر طول
طناب را L درنظر بگيريم پس:

L = n ( λn / 2)
n = 1,2,3,4,...

و اين رابطه را مي توان برحسب بسامد به صورت زير نوشت:
vn = ( nv / 2L ) = nv1
به ازاي n=1 بسامد اصلي به دست مي آيد. اگر n=2 باشد (v2 = 2v1 ) به آن هماهنگ دوم و يا مد دوم و به همين ترتيب سوم و چهارم و ... مي گويند.
ب) يک سر طناب ثابت است
در اين صورت در انتهاي ثابت طناب گره و در
انتهاي ديگر آن شکم ايجاد مي شود. پس طول طناب
مضرب فردي از ربع طول موج است.
پس:

L = ( 2n - 1) (λ(2n-1) / 4 )
n = 1,2,3,4,...

L = (2n-1) ( v / 4v(2n-1))
v(2n-1) = (2n-1)( v /4L ) = (2n-1) v1

به ازاي n=1 بسامد اصلي و به ازاي n=2,3,000 هماهنگهاي سوم، پنجم و ... به دست مي آيد. در مواردي که يک سرطناب آزاد است فقط مضرب هاي فرد بسامد اصلي در طناب ايجاد مي شوند.

برهم نهي موج ها در دوبعد ـ تداخل موج ها در سطح آب
در اين بخش به برهم نهي موج هايي مي پردازيم که در دو بعد، مثلاً در سطح آب، منتشر مي شوند. با يک دياپازون، دو چشمه ي موجبا هم برابرند.

پس دياپازون را با سطح آب درون تشتکي در تماس قرار مي دهيم. براي جلوگيري از بازتاب موج ها از روي ديواره ها، دور تا دور ديواره را با اسفنج نازکي مي پوشانيم تا امواج را جذب کند.

حال دياپازون را به نوسان درمي آوريم. موج هاي حاصل از هر يک از دو چشمه ي d2 , d1 همزمان در سطح آب منتشر ميشوند. اگر بر هم نهي دو موج در يک نقطه سازنده باشد، ذره با بيشينه دامنه نوسان مي کند (شکم) و اگر بر هم نهي دو موج ويرانگر باشد ذره ساکن مي ماند (گره). شرط ايجاد تداخل موج ها، آن است که دو چشمه ي موج، هم بسامد و هم فاز باشند.

تحليل رياضي تداخل موج ها
نقطه M را روي سطح آب تشتک درنظر بگيريد که با فاصله هاياز دو چشمه ي موج s1 , s2, قرار دارد. اگر معادله نوسان دو چشمه u1 = A1 Sin ωtباشد، فاز موج هاي حاصل از s1 , s2 وقتي به نقطه M ميرسند، به ترتيب
φ1 = ωt - ( 2π / λ) d 1
و
φ2 = ωt - ( 2π / λ) d 2
خواهد بود.

Δφ = φ2 - φ1
= ( 2π / λ ) ( d2 - d1 )
d2 - d1 = δ
---->Δφ = ( 2π / λ ) δ = 2πn

پس وضعيت نوساني نقطه M به δ = d2 - d1 بستگي دارد.
اگر φ مضرب زوجي از π باشد، دوموج هم فازاند و نقطه M شکم خواهد بود.
نقطه هايي از سطح آب که اختلاف راه آن ها از دو چشمه ي موج، مضرب زوجي از نصف طول موج است،در هرلحظه دوموج هم فاز دريافت مي کنند که بر هم نهي آن ها سازنده است. اين نقطه ها با بيشينه ي دامنه نوسان مي کنند.
به نقطه هايي از سطح آب که اختلاف راه آن ها از دو چشمه ي موج، مضرب فردي از نصف طول موج است، در هر لحظه دو موج ميرسد که با يکديگر در فاز مخالف اند و درنتيجه بر هم نهي آن ها ويرانگر است. اين نقطه ها ساکن مي مانند.

φ = ( 2n-1 )π

فيزيک (1) پيش دانشگاهي ( رشته رياضي )

سؤالات


1- معادله حرکت نوساني منبع موج در محيط کشسان به صورت uy = 10 Sin 4 πt است. اگر سرعت انتشار موج در محيط 1m /s باشد:
الف) بسامد و طول موج را به دست آوريد.
ب ) عدد موج را محاسبه کنيد.
ج) تابع موج را بنويسيد.
د) معادله نوساني نقطه اي که موج در فاصله 9 متري منبع قرار دارد بنويسيد.

2- معادله ارتعاشي نقطه A به فاصله 20 سانتي متر از منبع ارتعاش به صورت
(uA = 0.04 Sin (25 πt - π /2
است. مطلوب است :
الف) دوره، فرکانس و طول موج
ب ) سرعت انتشار موج در محيط

3- طنابي به طول 12 متر و به جرم 0.6 کيلوگرم به وسيله ي نيروي 54 نيوتوني کشيده مي شود. سرعت انتشار موج را در اين طناب محاسبه کنيد.

4- طنابي به طول 1.8 متر بين دو تکيه گاه بسته شده است. وقتي طناب به ارتعاش درمي آيد در طول آن 5 گره ايجاد مي شود. اگر سرعت انتشار موج در طناب 75m / s باشد، طول موج و بسامد نوسان را در موج به دست آوريد.
چون در طول طناب 5 گره وجود دارد، در طول طناب 2 / λ4 وجود دارد و n=4 مي باشد.

L = 4 ( λ4 / 2)
1.8 = 4 ( λ4 / 2 )
λ4 = 0.9
V = vλ ----> 75 = v * 0.9 ----> v =83.3

5- در طنابي که يک سر آن ثابت و يک سر آن آزاد است، موج ايستاده تشکيل شده است. در اين طناب 7 گروه به وجود آمده است اگر فاصله اولين گروه تا دومين گره15 سانتي متر باشد،طول طناب را محاسبه کنيد.

6- در يک محيط کشسان موجي درحال انتشار است. معادله ي نوسان در نقطه ي A و Bبه هنگام عبور موج از اين نقطه ها به صورت
(uA = 0.1 Sin (8 πt - 0.2 π
(uB = 0.07 Sin (8 πt - π
مي باشد. اگر سرعت انتشار موج از A به B برابر 25m /s باشد فاصله ي دو نقطه A,B را محاسبه کنيد.

7- تابع موجي که درجهت محور x انتشار مي يابد به صورت
( uy = 0.022 Sin (3 πt - π / 4
مي باشد. دامنه، طول موج، دوره و سرعت انتشار موج را به دست آوريد.


8- دوسر طنابي به دو تکيه گاه بسته شده است و در آن موجي با دامنه 1.2Cm و فرکانس150Hz انتشار مي يابد. اگر سرعت انتشار موج در طناب 60m / s باشد:
الف) تابع موج در طناب را بنويسيد.
ب) معادله ي نوسان نقطه Aکه در فاصله ي 10 سانتيمتر از مبدأ قرار دارد را بنويسيد.


9- عدد موج و بسامد زاويه اي يک موج به ترتيب 3 / π راديان بر متر و 50π راديان بر ثانيه است. مطلوب است سرعت انتشار موج


10- در طول يک طناب به طول 20 متر موج هاي عرضي با طول موج 15Cm و دامنه 2Cm انتشار مي يابند. اگر جرم طناب 60 گرم و نيروي کشش آن 15N باشد مطلوب است :
الف) سرعت انتشار موج
ب) بسامد زاويه اي
ج) متوسط انرژي موج